Elektrisch circuit analyseren (AC)

In knooppunt A (idem voor knooppunt B) komen een aantal stromen samen. Deze stromen "hopen" zich daar niet op, ze worden daar niet verzameld.
Dit wil zeggen dat alle toekomende stromen ook weer weg moeten vloeien.
Of dat de som van de stromen in een knooppunt gelijk is aan nul.

Of heel simpel gezegd voor knooppunt Ua geldt : I1 = I2 + I4

Dus I2 + I4 - I1 = 0

en dus ook I5 = I2 + I3

of I2 + I3 - I5 = 0

Overigens vond (vind) ik het zelf altijd prettig om een tweede vervangingsschema te tekenen met daarin de complexe (en reële) impedanties in plaats van condensatoren en weerstanden.

Het voorkomt fouten en maakt je formules eenvoudiger.

Op 7 april 2015 00:03:25 schreef Remi123:
Alvast bedankt voor de reacties!
@Frederick E. Terman:
U heeft het over de totale stroom in knooppunten A en B, dat deze kennelijk nul zijn. Kunt u daar een lichte beschrijving van gegeven want ik zie het namelijk eerlijk gezegd niet.

Dat schrijf je immers zelf: je schrijft in jouw tekening I1=I2+I4 (in A); en ook I2+I3=I5 (in B).
Dat betekent toch dat er geen stroom 'overblijft' in een knooppunt.
Dit heet de eerste wet van Kirchhoff: ΣI (knoop) = 0.

(De tweede wet van Kirchhoff stelt dat je, rondgaande in een lus of 'maas' (welke dan ook) in het schema, weer op dezelfde potentiaal moet uitkomen. Logisch, want je bent dan weer op hetzelfde punt. De som van alle gepasseerde spanningen moet dus nul zijn: ΣU (maas) = 0. )

Ja, nu is het mij duidelijk wat u ermee bedoelde.
Bedankt allen voor uw reactie / toelichting.

Welke ik verder uitgewerkt heb. Vervolgens Va ingevuld (ik heb alles al gesimuleerd, dus de waardes Va en Vb zijn mij al bekend. Namelijk: Va = 2.95(V) en Vb = 2.16(V).) Hierbij kwam ik op het volgende uit: Vb = -1.28 + 2.87*j Omgerekend naar cartesisch geeft mij dit 3.14(V). Een hele volt verschil met wat er uit zou moeten komen dus het lijkt mij dat ik iets fout heb gedaan?

Trouwens, ik begon me ook af te vragen of ik eigenlijk de stroom richting ergens van af kan leiden? De spanningsbron hebben beide wel een + en - indicatie, dus dacht ik dat de stroom van - naar + zou lopen, vandaar heb ik de richtingen I1, I3, I4 en I5 zo gekozen dat ze met de stroom meelopen. Maar de I2 heb ik gewoon random zo gekozen.. Ik begin een beetje te twijfelen of ik het zo wel goed doe?

Je formule klopt niet: je rekent de stroom naar C1 negatief. Van het knooppunt afgaande stromen zouden we positief rekenen, en dat doe je verder ook.
Overigens is gewoon Yc = j ωC.

Om dit soort schrijffouten te vermijden kun je beter eerst alles gewoon in Y oplossen. Invullen komt pas op het einde.

De pijlrichting mag je natuurlijk zelf kiezen. Het enige wat je ermee zegt is: als de stroom in werkelijkheid deze kant op loopt reken ik hem positief; loopt hij andersom, dan negatief.
Wel, dat merk je dan vanzelf wel.

Bij deze opgave ligt het nog iets genuanceerder: de stromen kunnen niet alleen 0 of 180 graden fase hebben, maar alle waarden.
De pijlrichting geeft dan de stroomrichting aan op t=0 van een cosinusvormige stroom met fase 0.

Als je bijvoorbeeld bij een pijl rechtsom een stroom met een fase van 40 graden zou vinden, dan had je met de pijl linksom een antwoord van 220 graden gevonden.
Alles komt dus vanzelf goed!

Maar met de voorgestelde methode hoef je dus geen stromen uit rekenen, al kan dat achteraf natuurlijk ook heel eenvoudig als Ua en Ub bekend zijn.

Mag ik je trouwens dringend verzoeken, spanningen met U aan te geven. De V is van Volt.
Anders krijg je straks onzin zoals V= 2V (waaruit volgt dat V= 0 ).

Bedankt voor de tip over V en U, ik zal er voortaan op letten!
Verder, als ik het goed begrijp moet ik het dus bij Y laten. De twee formules opstellen voor de twee knooppunten Ua en Ub, vervolgens deze twee vergelijkingen met twee onbekenden elimineren naar Ua of Ub die uitgedrukt zijn in Y. Waarna ik de Y-waardes in kan vullen en zo mijn Ua of Ub berekend heb?

Eerlijk gezegd kom ik er nog niet echt uit

[Bericht gewijzigd door Remi123 op 10 april 2015 00:46:12 (21%)]

Ik begrijp niet wat je hier met 'elimineren' bedoelt. Je hebt alleen de twee regels bij elkaar opgeteld, maar met welk doel?
Hoe lossen jullie normaal twee vergelijkingen met twee onbekenden op? Deze zijn niet anders.

Als je netjes van links naar rechts noteert, krijg je:

p + q Ua + r Ub     = 0
    s Ua + t Ub + u = 0

- althans, dat is de elegantste manier om het op te schrijven.
p t/m u zijn uitdrukkingen in Y1 t/m Y5 en U1 en U2, dus constanten. Die heb je al.
Je mag natuurlijk ook gewoon de Y's en U's laten staan, maar dat is wat voller op het blad.

Er zijn veel manieren om dit op te lossen, vanaf een 'toverformule' waarin je alleen p t/m u invult, tot aan het zelf elimineren (maar dan echt) van bijvoorbeeld Ub.

Vermenigvuldig de tweede vergelijking bijvoorbeeld eens met −r/t en tel dan de eerste erbij op. De term met Ub valt dan weg, zodat je Ua overhoudt.
Door de uitkomst daarna in een van de twee in te vullen rolt Ub eruit.

Let wel: tot nu toe heb je dan alleen nog 1) 'wet van Kirchhoff' (som van stromen in knooppunt is nul) en 2) 'twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen' nodig gehad.
Complex rekenen komt pas op het einde. Hebben jullie dat al gehad? Als het goed is op VWO al, maar dat gold voor 1 en 2 ook.

Nu begin ik het lichtelijk te snappen hoe ik het op zou kunnen lossen. Ik zie inderdaad in dat wat ik deed met elimineren niet klopte, maar wij zijn in principe nog niet zover. Althans, zoals u het mij verteld heb ik het nog nooit gehad. Wij hebben het in principe alleen met het vak netwerk theorie over DC netwerken. Hierbij waren het nog hele cijfers waar je gewoon iets met 2 of 3 kon vermenigvuldigen, bij elkaar optellen en je dan het antwoord al had. Het probleem in principe is, dat bij ons op dit moment AC netwerktheorie gelijk loopt met een vak waar we het toe moeten passen en waarbij ze in principe al een stap hoger zitten in vergelijking met het niveau waarin we les krijgen over de theorie achter AC. In principe maken we er net kennis mee (met AC circuits) en tegelijkertijd moeten we een stapje hoger het al toepassen.
En nee, ik heb HAVO gehad, alles is op zich 'nieuw' voor mij.

p + q Ua + r Ub     = 0
    s Ua + t Ub + u = 0

Klopt het dat dit eruit komt:

 
p + Ua *(q-(r*s)/t) - (r*u)/t = 0

Waaruit ik Ua bereken, deze vervolgens in de formule gooi waarbij ik Ub kan berekenen?

Op 7 april 2015 14:36:30 schreef Remi123:

code:

p + q Ua + r Ub     = 0
    s Ua + t Ub + u = 0

Klopt het dat dit eruit komt:

code:

 
p + Ua *(q-(r*s)/t) - (r*u)/t = 0

Nee, de bedoeling is dat er dit uitkomt:

      pt - ru
Ua = ---------
      rs - qt

Dat moet je maar eens proberen, waarna je dan p t/m u weer kunt vervangen door de uitdrukking waarvoor ze staan.

En dan nog een vraagje, heb ik dit wel correct?

code:

Ua: -U1*Y1 + Ua*(Y1+Y2+Y4) - Ub*Y2                 = 0
Ub:        - Ua*Y2         + Ub*(Y2+Y3+Y5) - U2*Y3 = 0

Dat zijn inderdaad de goede uitdrukkingen.
Je hoeft niet eerst met p t/m u te werken; ik dacht alleen dat het dan misschien gemakkelijker zou zijn de vergelijkingen op te lossen. Misschien maak ik het alleen maar erger.

Het ziet er inderdaad naar uit dat je de basis mist om dit probleem op te lossen.
De wetten van Kirchhoff zijn gemakkelijk te begrijpen en onthouden: in een knooppunt kun je geen stroom 'overhouden', en in een lus kun je geen spanning 'overhouden'.
Twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen is de op een na eenvoudigste nuttige wiskundige handeling (de eenvoudigste is één vergelijking met één onbekende: x − 6 = 0, en zo).
Die MOET je kunnen oplossen, anders kom je nergens.

In het Nederlandse taalgebied kan ik je de wiskundeboeken van Jan vd. Craats sterk aanraden.
Ook tweedehands zijn ze vlot verkrijgbaar, en de eerste druk zwerft ook ergens op internet rond (maar dat heb je niet van mij ).

Nogmaals zeer bedankt voor uw reactie en hulp!
Ik heb de formule van Ua die u gegeven heeft ingevuld, maar kom hierbij op een merkwaardig getal uit. Ua = 56.29 + 12.34*j
Ik ben bang dat ik p t/m u niet correct berekend heb.
Enig idee wat ik hier nou fout doe? Want ik kom (helaas) nog steeds niet op het juiste antwoord uit.

[Bericht gewijzigd door Remi123 op 10 april 2015 00:47:18 (11%)]

Inderdaad klopt er nog iets niet.
Intussen kun je wel het stelsel vergelijkingen voor Ua en Ub in p..u oplossen; de uitkomst voor Ua en Ub staan dan ook als termen met die letters erin.
Ua en Ub uit p..u uitrekenen kan op je gemak naderhand.

Terug naar p t/m u. Alle zijn goed behalve q en t.
q = Y1 + Y2 + Y4. Y1 en Y2 zijn reëel, Y4 is imaginair. Hun som moet dus complex zijn, maar jij hebt q reëel; dat kan niet.
Hetzelfde probleem zie ik bij t = Y2 + Y3 + Y5, wat ook complex zou moeten zijn.
Wat jij hebt staan, zijn hun respectieve absolute waarden. Blijkbaar had je de complexe uitkomst voor q en t eerst wel goed!

Op 7 april 2015 21:02:47 schreef Frederick E. Terman:
Terug naar p t/m u. Alle zijn goed behalve q en t.
q = Y1 + Y2 + Y4. Y1 en Y2 zijn reëel, Y4 is imaginair. Hun som moet dus complex zijn, maar jij hebt q reëel; dat kan niet.
Hetzelfde probleem zie ik bij t = Y2 + Y3 + Y5, wat ook complex zou moeten zijn.
Wat jij hebt staan, zijn hun respectieve absolute waarden. Blijkbaar had je de complexe uitkomst voor q en t eerst wel goed!

Ik snap wat je bedoel, maar wat ik heb gedaan is het reele deel uitgerekend en het imaginaire, en ik dacht dat je dat wel om kon zetten naar cartesisch maar schiet me nu ineens te binnen dat ik er dan ook graden bij had moeten vermelden. Dus zal het even terug rekenen met q en t met een imaginair deel!
Ik heb nu een antwoord dat er aardig op lijkt! Er is helaas wel een kleine afwijking in vergelijking met het gesimuleerde antwoord (2.95V). Ik kwam op 2.65V uit wat toch aardig in de buurt komt gezien alle afrondingen en het werk met die kleine getallen. Toch lijkt het mij wel aardig kloppend.
Wat is uw mening hier over? Klopt het dat de afwijking rond de 0.30V kan zijn of is het fout?

Voor Ub ben ik op het volgende uitgekomen:

 
      q*u - p*q
Ub = -----------
      r*s - r*q

Het is fijn te zien dat je hard aan het werk bent.

Of 0,3V afwijking door afronding kan komen moet ik nog narekenen. We hebben natuurlijk te maken met verschillen tussen grootheden die ongeveer even groot zijn, dus dan worden de fouten in dat verschil relatief groot.

Met een gewone schoolrekenmachine kun je trouwens rechtstreeks complex rekenen; althans met de Casio's van de kinderen wel.
Met mijn stokoude TI-83 (de oude, nog zonder usb) gaat het ook, en die is van 1998. Dat spaart een boel werk in de eindberekening, en dan heb je geen last van de afrondfouten.

In je uitdrukking voor Ub zit nog een fout.
Grappig weetje: bij dit soort sommen is heel vaak de noemer voor beide uitdrukkingen gelijk. In jouw geval had dat voor Ua en Ub ook zo moeten zijn. Het scheelt maar één letter; een overschrijffoutje misschien?

Ah, voilà, daar is hij al. Nu is hij correct.

Ja, als ik eenmaal met iets begin wil het ook graag afmaken
Ik hoop dat de 0.3V afwijking kan kloppen, ik zou niet weten hoe je complex zou kunnen rekenen op een casio. Ik heb tijdens HAVO wel een grafische rekenmachine aan moeten schaffen maar het hele complex rekenen heb ik net een kwartiel geleden achter de rug, dat was allemaal algebraisch zonder enig gebruik van een rekenmachine.
Verder kwam ik er inderdaad achter dat ik de 't' mistte toen ik de formule invulde, gelukkig kwam ik er op tijd achter voordat het rekenwerk begon

Maar on topic:
Ik heb dus die formule uitgewerkt, maar ik heb geen flauw idee waar ik nu een fout maak maar ik weet wel dat ik een fout heb gemaakt. Aangezien ik een imaginair getal in de teller heb staan en een reeel getal in de noemer, dit moet volgens mij een reeel + imaginair zijn in de teller?

Ik kom niet echt uit Ub, maar ik zal er morgen mee verder gaan. Dit zou eventueel ook kunnen met mijn eerste opgestelde formules? Die in het eerste bericht van mij staan. Ik weet niet of deze kloppen maar anders zou ik hier Ua in kunnen vullen als het goed begrijp? Zou u daar een blik op kunnen werpen of deze goed zijn?

[Bericht gewijzigd door Remi123 op 8 april 2015 00:15:58 (16%)]

Ik heb Ua nagerekend met op twee cijfers achter de komma afgeronde getallen (zoals bv. −1,91×10⁻³), en dan komt er nog steeds ongeveer de juiste waarde uit: 1,91 − 2,25j (of 2,95 @ 49,7°). Ik vrees daarom dat je toch ergens een rekenfout hebt gemaakt.
Pas op met kwadrateren van negatieve getallen op de rekenmachine tijdens het invoeren: als je − 5 ² intikt, dan komt er −25 te staan. Als je −5 wilt kwadrateren tijdens de invoer, dan moet je intikken: ( − 5 ) ².
Goed op de minnen letten dus; en pas ook op dat u hier zuiver imaginair is.

Ben er net weer van school, ga er nu direct weer mee bezig!
Oh, ik ben er achter gekomen dat ik voor 'p' per ongeluk een plus waarde heb ingevuld, maar nu ik dit correct heb ingevuld kom ik ineens op 2.3 - 3.11*j.. De min klopt dit maal in ieder geval wel, zal het nogmaals proberen.
Aah ik kom eindelijk op het goede antwoord uit!
Althans, 1.9 - 2.24*j lijkt me goed zat Welke 2.94(V) geeft, maar dat ligt waarschijnlijk toch aan de afrondingsfouten tijdens het berekenen ervan. Maar de fase verschuiving is dan toch als volgt te berekenen: arctan(y/x) welke het volgende geeft: arctan(-2.24/1.9) = -49.69°

[Bericht gewijzigd door Remi123 op 8 april 2015 19:18:07 (12%)]

Je komt er steeds dichter bij. De waarden lijken nu goed, ook de hoek.
Je moet gewoon enorm oppassen met al die minnetjes, kwadraatjes en j-tjes.

--
Maar pas op met die ARCTAN: bij Ub kom je dan voor een verrassing te staan.

Hint: hoeveel is TAN(30 graden)? En TAN(210 graden)?
Zie je het probleem bij de ARCTAN-functie? Google maar eens op ATAN2.

Mhm oke, ik zal erop letten. Ben op dit moment nog bezig met het berekenen van Ub. Tot nu toe is dit nog niet geslaagd, ben bang dat ik telkens fouten maak met de minnetjes of de tussentijdse resultaten verkeerd aflees. Bijvoorbeeld 1.2*10^-6 ipv 1.2*10^-7. Maar ik geef de moed nog niet op!
Over de ARCTAN bij Ub, TAN(30) en TAN(210) heeft hetzelfde resultaat.. Allebeide (√3)/3. Maar ik ben van plan me eerst nog te focussen op het berekenen van Ub, dit is tot op heden nog niet gelukt dus.
Nog een vraagje, kan je een rekenmachine een antwoord in machten laten geven? Als het antwoord bijvoorbeeld 0.0001 is dat hij ipv. hiervan alle 0'en voor het eerste getal dat groter is dan 0 wegwerkt en 1.0*10E-4 als resultaat geeft? Want op dit moment is het zon beetje de hele tijd 0'en tellen en vervolgens de -macht er neer te zetten

EDIT:
Ub = 2.16(V) wat precies overeenkomt met mijn simulatie! Nu nog de fase draaiing hierbij.

Ik wil u zeer graag bedanken voor uw hulp met het oplossen van dit circuit, het was dan ook een zeer leerzaam iets voor mij en ik zal dit niet zomaar vergeten! Nogmaals zeer bedankt voor uw steun en hulp!

[Bericht gewijzigd door Remi123 op 10 april 2015 00:42:10 (13%)]

Hierbij geldt inderdaad niet de gewone ARCTAN merk ik.. Dit zou namelijk -113.89° moeten zijn.

Ah, dat was immers de verrassing die ik beloofd had.
De arctan geeft je getallen tussen de -90 en 90 graden, maar aan x en y zelf kun je zien wat de werkelijke waarde moet zijn; inderdaad het getal wat je vond.

Wat je rekenmachine laat zien is meestal in te stellen. Vaak is dat het knopje 'mode' of zoiets. Kies dan voor 'SCI'.
Voor heel grote of heel kleine getallen zal hij vanzelf wel op 'scientific' overgaan, maar voor 'gewone' getallen moet je het kiezen.

Off topic: Wij elektronici vinden de mode 'ENG' (engineering), als die er is, vaak prettig. De machten van 10 zijn dan zelf altijd veelvouden van 3.
Dus inplaats van bijvoorbeeld 4.7 E-8, staat er dan 47 E-9. Dat vinden we geweldig, want dan zie je in één oogopslag dat er 47 nano staat: 47 nF bijvoorbeeld. En in plaats van 6.8 E5 krijg je dan 680 E3 te zien: 680 kohm bijvoorbeeld.
Maar dat is bijzaak.

Op 9 april 2015 11:12:29 schreef Frederick E. Terman:
[...]
Off topic: Wij elektronici vinden de mode 'ENG' (engineering), als die er is, vaak prettig. De machten van 10 zijn dan zelf altijd veelvouden van 3.
Dus inplaats van bijvoorbeeld 4.7 E-8, staat er dan 47 E-9. Dat vinden we geweldig, want dan zie je in één oogopslag dat er 47 nano staat: 47 nF bijvoorbeeld. En in plaats van 6.8 E5 krijg je dan 680 E3 te zien: 680 kohm bijvoorbeeld.
Maar dat is bijzaak.

Ik heb de optie gevonden, dit is inderdaad wel een stuk fijner om zo de resultaten af te lezen! Bedankt voor deze tip

Aha! 'nauw' snap ik eindelijk waar ENG voor staat.

Op 9 april 2015 11:48:53 schreef Goeievraag:
Aha! 'nauw' snap ik eindelijk waar ENG voor staat.

't Is zeer handig inderdaad

Dat was wel een gigarakenpartij die hier gedemonstreerd werd..

Het nadeel van rekenen is dat je makkelijk fouten maakt.

Het beste is, denk ik, een probleem altijd "aan te kijken" zodat je het zoveel mogelijk modulair en met zo weinig mogelijk rekenwerk oplost.

Ik zou dit anders hebben aangepakt.

Namelijk:
Maak een Theveningenerator van V1,R1 en C1 en evenzo een van V2,C2 en R3

Dat draai ik zo uit mijn rekenschijf, en nauwkeuriger uit mijn HP25 met reverse polish notation, dus dat gaat vlot.

De eerste is
Thevenin 1 Open spanning TV1 en inwendige serieimpedantie Z1

T1V=3.07543 -j4.26856 Z1= 1.60606e+03 -j2.22914e+03

De rechter Theveningenerator

T2V=-1.42468 -j1.03066 Z2= 7.55818e+02 -j1.04477e+03

Dan heb je als je R2 ertussen zet direct de totale serieimpedantie en de stroom volgt dan I= 8.43470e-04 -j8.41526e-05

Dan volgt direct gerekend vanaf de linker Theveningenerator de UA en UB

Als ik geen fouten heb gemaakt zijn die dan

VA= 1.908356 -j2.253196 en VB= -0.875094 -j1.975493

Bedankt voor je reactie maar hoe je het allemaal verteld gaat iets hoger dan het niveau op welke ik op dit moment ben. Aangezien dit in principe het eerste circuit is met twee knooppunten, welke we op moeten lossen met de knooppunt methode..

In werkelijkheid levert de methode van @Dr Blan niet minder rekenwerk op. Het lijkt hier weinig omdat hij de stappen niet laat zien.

Met de knooppuntsmethode hoeft hier maar één stelsel van twee vergelijkingen te worden opgelost - dat doe je natuurlijk symbolisch -, waarna na invullen direct Ua en Ub eruit rollen.
Het invullen is hier gedetailleerd uitgeschreven (een aantal keer nog wel ). Dan lijkt het al gauw heel wat, maar het is minder werk dan tweemaal Thévenin en dan de daarna ontstane kring.

De kortste manier is, denk ik, de superpositiemethode. Je hoeft dan geen stelsels vergelijkingen op te lossen, en ook geen resulterende kring na te rekenen. Maar dat moet je later maar eens opzoeken.