q(t) beschrijven (wiskunde).

Je gaat de goede kant op met het een en ander. Mooi zo!.

Zo heb je zelf de frequentie van het signaal uitgerekend. Prima!

Twee oefenopgaven. Hopelijk helpt het....

1) De lading op de pluspool van een blackbox (<- Neem dat met een korrel zout AUB), is gegeven: q(t) = sin (t).

Wat is de stroom i(t)?

1) De stroom de pluspool van een blackbox in (<- Neem dat met een korrel zout AUB), is gegeven: i(t) = sin (t).

Wat is de lading q(t)?

Op 20 januari 2013 12:02:43 schreef (nog) amateur:
- De stroom hier sinusvormig is, maar dat hij 90° achterloopt op i = 24 sin 4000t A.

Huh? De stroom loopt 90° achter op zichzelf?

- de '24' in de formule een vage constante is die maakt dat dit m.i. een onrealistische formule is. De momentele stroom i kan namelijk nooit 24maal de amplitude zijn.

24 _IS_ de amplitude. Onze netspanning is toch ook \sqrt{2}*230*cos(2*pi*50*t)?

We kunnen de formule dus vervangen voor i = 24 cos ωt A waar f = 636,62Hz. Het geeft dezelfde uitkomsten, maar zo heb ik al een beetje een betere indruk van wat er aan de hand is.

Wat maakt het nou uit of je opschrijft cos(4000*t) of cos(w*t) en in de opdracht zegt dat w=4000?

- De lading Q = At. M.A.W., er is een coulomb verplaatst als er een seconde lang een ampère liep.

Nee, Q=It. Niet je eenheden en grootheden gaan mixen.

[..]

De 'stroom' is de afgeleide van de lading naar de tijd. In formule vorm:
I = \frac{dQ}{dt}
Dus
Q = \int_{t0}^{t1}{I \cdot dT}

Hiermee zou je verder moeten kunnen, alleen weet ik niet of je de nodige wiskunde al kent?

Het is toch wel begrepen dat die A gewoon de eenheid ampere is, en niet de amplitude voorstelt?

i(t)= 24 cos 4000t A, dus de amplitude is I= 24A (vierentwintig ampere) en de cirkelfrequentie ω= 4000.

Je mag gerust eerst door 2pi delen om f te krijgen, en daarna weer met 2pi vermenigvuldigen om de cos uit te rekenen, maar veel voegt dat niet toe.

Overigens loopt de cos ½π (90° ) voor op de sin, niet achter.

Ten slotte: je kunt wèl van de lading op elk moment spreken.

[Bericht gewijzigd door Frederick E. Terman op zondag 20 januari 2013 13:08:43 (18%)]

Op 20 januari 2013 12:27:08 schreef rew:
Twee oefenopgaven. Hopelijk helpt het....

1) De lading op de pluspool van een blackbox (<- Neem dat met een korrel zout AUB), is gegeven: q(t) = sin (t).

Wat is de stroom i(t)?

1) De stroom de pluspool van een blackbox in (<- Neem dat met een korrel zout AUB), is gegeven: i(t) = sin (t).

Wat is de lading q(t)?

1) Ik weet niet precies wat je met sin(t) bedoeld, maar ik denk dat als q(t) = sin(t), dan is i(t) cos(t). De stroom is immers de cosinus van de lading.

2) q(t) is de sinus van i(t). Nu vraag je naar q(t) als i(t) niet de cosinus is maar de sinus. Dan denk ik dat: q(t)= i(t) sin(t)+90°
Ik weet niet of het ergens op slaat wat ik nu zeg, en ik weet nog niet goed wat ik ermee aan moet.

Huh? De stroom loopt 90° achter op zichzelf?

i = 24 sin 4000t A was hypothetisch. Ik deed deze uitspraak om te verduidelijken dat ik begrijp dat een cosinus 90° achterloopt op een sinus.

24 _IS_ de amplitude. Onze netspanning is toch ook \sqrt{2}*230*cos(2*pi*50*t)?

Hoe bedoel je? de formule uit het boek is i = 24 cos 4000t A. cos 4000t Wordt hier dus vermenigvuldigd met 24 en met A.
Als ze bedoelen dat 24 de amplitude van de stroom is hadden ze m.i. moet zeggen dat: i = cos 4000t A waarin A = 24 ampère.

Wat maakt het nou uit of je opschrijft cos(4000*t) of cos(w*t) en in de opdracht zegt dat w=4000?

Helemaal niks, maar door terug te rekenen naar de frequentie laat ik merken dat ik snap waar die 4000 vandaan kan komen; van 636,62Hz dus.

Nee, Q=It. Niet je eenheden en grootheden gaan mixen.

Duidelijk, slordige fout van mij.

De 'stroom' is de afgeleide van de lading naar de tijd. In formule vorm:
I = \frac{dQ}{dt}
Dus
Q = \int_{t0}^{t1}{I \cdot dT}

Dat teken is het integraalteken toch? Integreren is een wiskundige vaardigheid die ik nog niet beheers.
Wordt er m.b.v. dat integraalteken een gemiddelde stroom berekend binnen de in dezelfde formule genoemde dT?

Op 20 januari 2013 13:07:39 schreef Frederick E. Terman:
Het is toch wel begrepen dat die A gewoon de eenheid ampere is, en niet de amplitude voorstelt?

Nee dat had ik dus verkeerd begrepen.

Overigens loopt de cos ½π (90° ) voor op de sin, niet achter.

Dat had ik ook fout. De lading loopt dus achter op de stroom. Dat klopt ook als ik het grafisch schets.

Ten slotte: je kunt wèl van de lading op elk moment spreken.

Kun je dat nader verklaren? Naar mijn idee kan er namelijk geen lading verplaatst zijn als er geen tijd is verstreken. Daarom denk ik dat de lading alleen bepaald kan worden van een tijdsperiode , en dat er dus een referentiemoment als t=0 gekozen moet worden.

EDIT: dubbelpost zie ik. Dit was niet de bedoeling. Excuses aan de moderators.

Precies.

De vraag vraagt naar de totale lading die het blokje is ingegaan. Die wordt pas bepaald als je een beginmoment en bijbehorende beginlading opgeeft: "Assume the charge at the upper terminal is zero at the instant the current is passing trough its maximum value."

Als je de oefenopgaven gedaan hebt, kan je terug naar je eigenlijke opgave. Dan mag je eerst aannemen dat de lading op moment t=0 nul is. Daarna ga je pas de gegeven, iets moeilijker geformuleerde aanwijzing verwerken.

1) Ik weet niet precies wat je met sin(t) bedoeld, maar ik denk dat als q(t) = sin(t), dan is i(t) cos(t). De stroom is immers de cosinus van de lading.

Huh? Als de stroom de cosinus van de lading is krijg je cos(sin())? De stroom is de afgeleide van de lading naar de tijd. Dus I=d(sin(t))/dt = cos(t).

Het is belangrijk dat je snapt dat het hier om de afgeleide gaat.

Voor rew's 2e vraag heb je dit ook nodig.

i = sin(t)
\frac{dq}{dt} = sin(t)
...

Hoe bedoel je? de formule uit het boek is i = 24 cos 4000t A. cos 4000t Wordt hier dus vermenigvuldigd met 24 en met A.
Als ze bedoelen dat 24 de amplitude van de stroom is hadden ze m.i. moet zeggen dat: i = cos 4000t A waarin A = 24 ampère.

Het is de A van ampere, de eenheid van stroom.

Anders mogen we straks ook niet meer zeggen: U= 230V.
Dat moet dan worden: U= 1 p, waarin p= 230 volt.
(just kidding!)

Een 'ding' (het zal hier een condensator zijn) kan op elk moment een lading hebben. Natuurlijk heb je een eindige tijd nodig om een eindige hoeveelheid lading te verplaatsen, maar dat hindert toch niet?
Als ik jou een condensator geeft van 10µF, die tot 100V geladen is, dan zit daarin gewoon een lading van Q= CU= 1000µC= 1mC. En als je 0 seconden later kijkt, dan is dat nog zo.

Hoe ik die lading erin heb gekregen is een ander verhaal. Ik kan de condensator geladen hebben gedurende 1 seconde met een stroom van 1mA, of gedurende 20ms met een stroom van 50mA, of in 10 seconden met een stroom die opliep van 0 tot 0,2mA...
In al die gevallen is de lading als het ware het oppervlak onder de grafiek van de stroom tegen de tijd. In de eerste twee gevallen was dat een rechthoekige, in het derde een driehoekige oppervlakte.

Ook met een sinus- (of cosinus-) vormige stroom kun je de oppervlakte onder de grafiek bepalen. Bijvoorbeeld door een heleboel deeltijdjes te nemen en al die smalle rechthoekjes bij elkaar op te tellen.
De wiskundige kent daarvoor natuurlijk een truc, en die weet van te voren dat het antwoord bij een sinus een cosinus is, en bij een cosinus een (min-) sinus.
Plus een constante! Die constante is de hoeveelheid lading die je al had toen je begon. In de vraag is dat een gegeven.

Martijn,

Wat Bas zegt klopt. Om q(t) te bepalen uit i(t) moet je i(t) integreren over de tijd. Als je dat nog niet kunt, dan moet je maar even aannemen dat de integraal van i(t) gelijk is aan:

[(24/4000)*sin(4000t₁)-(24/4000)*sin(4000t₀)]C

Als je voor t0 de begintijd invult en voor t1 de eindtijd, dan moet de uitkomst kloppen in Coulomb. Probeer maar...

hé wat leuk, die vage 'blackbox' kan zomaar een gewone condensator zijn. Ik dacht eerst dat we met een onrealistische theorievraag te maken hadden...
Nu ik nog eens naar de curven van de stroom en de lading in dezelfde grafiek kijk, zie ik gelijk de logica:
1) positieve stroom - stijgende lading. Hoe groter de stroom, hoe sneller de lading stijgt.
2) negatieve stroom - dalende lading. Hoe groter de negatieve stroom, hoe sneller de lading daalt.

Integreren kan ik nog niet, iets waar ik aan ga werken. Als deze techniek ons in staat stelt de oppervlakte onder de curve uit rekenen, kan ik begrijpen dat dit de uitkomst biedt.

Echter, zou ik echter zonder die integreertechnieken niet alsnog de amplitude van de lading kunnen berekenen? De amplitude vermenigvuldigd met √2 is namelijk het kwadratisch gemiddelde van een sinus.
De stroom stijgt naar 24V in: 1: (4000:2π ):4 = 0,3926990817ms
Zou de amplitude van Q dan misschien niet gelijk zijn aan: 24V x 0,3926990817 : √2 = 6,66µC .

De momentele q is dan te berekenen door q = 24V x 0,3926990817ms : √2 x (sin (4000t)) C.

Als ik bijvoorbeeld 0,1963ms pak (ca. 1/8e periode) krijg ik als uitkomst:
24V x 0,3926990817 : √2 x (sin(4000x0,0001963)) = 4,71µC

Pas ik de formule van WoeLiMaster toe dan krijg ik als uitkomst:
(24/4000)*sin(4000x0,0001963)-(24/4000)*sin(4000x0)= 4,24µC

Een verschil van ca. 0,5µC dus. Net teveel om het op de afwijkingen t.g.v. het afronden te steken denk ik. Gebruik maken van het kwadratisch gemiddelde lijkt geen correct antwoord te geven.
Ik moet dus eens goed studie maken op integreren.

Hoi Martijn,

Je stelt uitstekende vragen. Het vervelende van deze vragen is dat ze alleen op te lossen zijn met calculus (integraal en differentiaal rekenen). De winst van jouw redenaties is in ieder geval dat het je motiveert om je in de wiskunde te gaan verdiepen. En als je ook echt tot de dieper gelegen ideeën achter het e.e.a. wilt doordringen, dan kan dit niet zonder wiskunde. Dus mijn advies aan jou is dan ook om veel tijd te besteden aan dit onderwerp want er gaat een wereld voor je open die anders verborgen voor je blijft.

Wat je met die \sqrt(2) aan het doen bent gaat mij m'n pet te boven maar dat kun je i.i.g. niet doen op die manier De formule die ik gaf geeft je de verplaatste lading tussen t0 en t1 en dat geldt voor alle tijdsintervallen van 24*cos(4000t).

Ik moet dus eens goed studie maken op integreren.

Right! Keep up the good work...

Op 20 januari 2013 18:12:32 schreef (nog) amateur:
Pas ik de formule van WoeLiMaster toe dan krijg ik als uitkomst:
(24/4000)*sin(4000x0,0001963)-(24/4000)*sin(4000x0)= 4,24µC

Hier gaat iets niet helemaal goed.

Als je t neemt voor t1 en 0 voor t0 dan kom je op 24/4000*cos(w*t), dus de amplitude is 24/4000 = 3/500.

Ook met een sinus- (of cosinus-) vormige stroom kun je de oppervlakte onder de grafiek bepalen. Bijvoorbeeld door een heleboel deeltijdjes te nemen en al die smalle rechthoekjes bij elkaar op te tellen.

Ik bedoel dit letterlijk. In bijvoorbeeld Excel is het een eitje.

Op t=0.0000 is de stroom zoveel (gewoon invullen in de functie)
Op t=0.0001 is de stroom zoveel
Gemiddeld dus zoveel. Gemiddeld heb ik dus zoveel (product!) lading verplaatst in die tijd, dat is tot dusver zoveel lading totaal.

Op t=0.0002 is de stroom..
...

et cetera.
Je weet dat je bij nul lading begint: dat staat in de vraag.
Je weet dat de hoeveelheid lading sinusvormig zal verlopen.
Je hoeft dus maar tot aan het maximum te gaan. Daarna kun je de formule (de uitdrukking) voor de lading zelf in elkaar zetten- je kent dan de frequentie, de amplitude en de fase van het ding.

Als je bang bent dat het niet nauwkeurig genoeg was, doe je het nog eens, maar dan met tienmaal zo kleine stappen en kijkt wat het verschil is. Enzovoorts. Tien minuutjes werk.

Heb ik de formule van WoeLiMaster dan verkeerd ingevuld / geïnterpreteerd, of is er iets fout aan de formule?

Toch laat mijn redernering me nog niet los. Ik wist namelijk al dat de lading sinusvormig zal verlopen. Ik wist de frequentie; die is gelijk aan die van de stroom. De fase wist ik ook; die loopt namelijk 90° achter op de stroom.
Het enige probleem wat overblijft is dus om de amplitude van de lading te berekenen. Ik zal nog eens wat beter uiteen proberen te zetten hoe ik in mijn laatste post aan een antwoord dacht te komen zonder integreren.

Laten ik eens veronderstellen dat het signaal een blokgolf was. De amplitude van Q is dan gemakkelijk te berekenen door de amplitude van de stroom te vermenigvuldigen met 1/2^e van de periodetijd. (Als we de gehele periodetijd nemen is de uitkomst de piek-piek waarde van Q). Q is in dit geval een driehoekvormig signaal. (Stroom is een constante en t een lineair oplopende variabele)

Nu valt gemakkelijk te begrijpen dat de lading bij een sinusvormige stroom niet zover zal oplopen als bij een blokgolf met dezelfde amplitude. De gemiddelde waarde van een sinus komt namelijk lager uit dan diens amplitude. De vraag is: hoeveel lager?
Dat valt bij zeer goede benadering uit te rekenen middels FET's bovenstaand voorbeeld.
MAAR: we weten toch allemaal dat de gemiddelde waarde van een sinus de amplitude gedeeld door √2 is?

Daarom denk ik dat de amplitude van de lading te berekenen is door:
Q = I x periodetijd/4 /√2.
De periodetijd is hier gedeeld door 4, omdat de sinuswaarde in 1/4^e periode van 0 tot max stijgt.
Met de andere informatie die we al hadden over Q (frequentie en fase) krijgen we dan:
I=24A
periodetijd = 1/f = 1/4000/(2xπ )
Dus:
Q= 24 x (1/4000/(2xπ )/4/√2)

Dus als i = 24 (cos 4000t)
Dan is geldt voor q:
q = Q (sin 4000t) waardoor
q = 24 x (1/4000/(2xπ )/4/√2) x (sin 4000t)

Pas ik deze formule toe voor het tijdstip t=0,1963ms dan krijg ik:
q = 24 x (1/4000/(2&xpi; )/4/√2) x (sin (4000x0,0001963))= 0,12mC.

Dit is een ander antwoord dan in mijn vorige post, maar dit komt doordat ik 2π niet tussen haakjes had gezet in de deelsom. Verder had ik het verkeerde decimale voorvoegsel gebruikt. µ moest namelijk m zijn.

Wie kan mij uitleggen waarom dit antwoord onjuist is?

Op 23 januari 2013 20:38:20 schreef (nog) amateur:
MAAR: we weten toch allemaal dat de gemiddelde waarde van een sinus de amplitude gedeeld door √2 is?

Nee, de gemiddelde waarde van een sinus is 0. De effectieve/RMS waarde is idd wortel 2.

Juist, en dat is toch ook de oppervlakte onder de curve? X maal Y / √2 ? En bij de blokgolf is het gewoon X maal Y.

Waar komen x en y opeens vandaan? De oppervlakte van de curve f(x) in het interval [a,b] is \int_a^b{f(t)dt}

De effectieve waarde is meer dan alleen het oppervlak http://en.wikipedia.org/wiki/Root_mean_square

De 'oppervlakte onder de curve' over de hele sinus is nul. Er zit immers evenveel onder nul als erboven.
De oppervlakte onder de curve van een halve sinus is twee.
Iets wat je, als je het al niet wilt of kunt uitrekenen, toch nog gemakkelijk in een schetsje zou kunnen zien.
Teken het eens op millimeterpapier en tel de hokjes, dan weet je alles.

Maar voor het gemiddelde vermogen moet je niet naar de golfvorm van de spanning kijken, maar die van het (momentele) vermogen.
Uit het gemiddelde vermogen bereken je dan weer de effectieve spanning.

Hoi Martijn,

De formule die ik jou gegeven heb is goed voor i(t)=24*cos(4000t). Dan krijg je: (24/4000)*sin(4000t)-(24/4000)*sin(t0). En zoals Bas eerder aangaf kun je de coëfficiënten (24/4000) nog iets verder vereenvoudigen naar (3/500). Door naar (3/500) te kijken weet je dat dat de maximale uitwijking van de grafiek zal zijn. De waarde van de sinus varieert immers tussen -1 en 1. Ik neem nu zelf even aan dat de fout waar Bas op wees te maken had met de verwisseling m en u, op dit punt na was de berekening juist.

De formule die ik je gaf gebruik je om de verplaatste lading te berekenen over een bepaalt tijdsinterval, dus tussen t0 en t. In alle gevallen waar t0=0 gaat de formule over in (24/4000)*sin(4000t), of zo u wilt, in (3/500)*sin(4000t). Dat komt natuurlijk omdat sin(0)=0 en dan valt er niets af te trekken.

Als je naar het verloop van de lading wilt kijken als functie van de tijd, dan kun je gewoon (24/4000)*sin(4000t) plotten op je rekenmachine. Waar het begripsmatig -onder andere- nu nog niet helemaal lekker gaat, is bij die wortel 2. De amplitude, van een sinusoïde, gedeeld door wortel 2 geeft je de effectieve waarde. De effectieve waarde van een wisselspanning of stroom wordt gebruikt om aan te geven dat die wisselspanning even veel vermogen dissipeert in een belasting als een gelijkspanning. Dus bijvoorbeeld een gelijkstroom van 10 ampere door een weerstand van 1 ohm zal 100 watt vermogen dissiperen in die weerstand. Om tot een gelijke vermogensdissipatie voor een wisselstroom te komen heb je dus een wisselstroom nodig met een amplitude van wortel 2 maal 10A. In dit geval praat je over vermogens dissipatie. Om tot een berekening over de verplaatste lading te komen zul je echter gewoon met de daadwerkelijke amplitude van de sinusoïde moeten werken in plaats van met de effectieve waarde, die zegt immers alleen wat over het gedissipeerde vermogen; de daadwerkelijke uitwijking van de sinusoïde zegt iets over het totaal van de verplaatste lading.

Bij een blokvormige stroom kun je inderdaad gewoon de oppervlaktes van de positieve en de de negatieve delen algebraïsch bij elkaar optellen en vermenigvuldigen met de tijd en dan krijg je inderdaad een zaagtandje. Maar dat gebeurt natuurlijk alleen als de blokgolf asymmetrisch is. Zo zie je dat je met een beetje eenvoudige wiskunde al schakelingen voor golftransformaties kunt bedenken.

Met welk boek ben je bezig?

Ik wist al dat RMS de waarde van de sinus is op de helft van de tijd die nodig is om van 0 tot de top te komen. Echter heb ik op dit gebied een verkeerde aanname gedaan, wat tevens oorzaak is van mijn redenatiefout. Ik nam namelijk aan dat de RMS gelijk is aan dat integreerverhaal. Ik dacht dus aan √2 te komen als ik amplitude zou delen door het berekende gemiddelde van de sinus op de wijze die FET schetste:

Op t=0.0000 is de stroom zoveel (gewoon invullen in de functie)
Op t=0.0001 is de stroom zoveel
Gemiddeld dus zoveel. Gemiddeld heb ik dus zoveel (product!) lading verplaatst in die tijd, dat is tot dusver zoveel lading totaal.

Op t=0.0002 is de stroom..
...

Denkend aan de formule voor het berekenen van het vermogen besefte ik opeens dat dit natuurlijk niet opgaat. Dit ten gevolge van het feit dat de stroom toeneemt met de spanning, oftewel: P = U² / R. Het is dus absoluut niet zo dat bijvoorbeeld het verstookte vermogen bij 10V over 10Ω gedurende 1 uur gelijk is aan 5V over 10Ω gedurende 2 uur. Dit betekend dat ik de term RMS toch nog niet zo goed begrijp als ik dacht; iets waar ik nog aandacht aan ga besteden. Deze conclusie is echter wel genoeg om te begrijpen waarom mijn eigen redenatie niet klopt.

Om jullie hulp zo optimaal mogelijk te benutten, ga ik eerst eens de oppervlakte onder de curve van een sinus uitrekenen op de manier die FET schetste (zoals het in deze post gequote staat).
Daarna ga ik proberen de door jullie genoemde formules te begrijpen, o.a. door me eens goed te verdiepen in integreren. Verder ga ik jullie teksten nog eens goed doornemen. Ik heb er namelijk even de tijd voor nodig om de informatie die jullie me doen toekomen te verwerken, om er zodoende serieus en overdacht op te kunnen reageren.

@ WoeLimaster, ik ben bezig met het boek 'Electric circuits'. Dit boek wordt (of werd, dat weet ik niet) op TU Twente gebruikt voor netwerktheorie. Dit betekend dat het uitgaat van een kennis op VWO niveau, welke ik niet heb.

Misschien kun je dan eerst een natuurkundeboek voor VWO doornemen, of juist een wiskundeboek.

De wiskundeboeken van Jan van de Craets zijn mooi compleet en bevatten meer dan genoeg wiskunde om voorlopig vooruit te kunnen in de elektronica.
Een downloadversie van zijn Basisboek Wiskunde vind je hier:
http://staff.science.uva.nl/~craats/BasisboekWiskunde2HP.pdf

Dit is een legale download.

Basisboek wiskunde van van de Craets heb ik al. Dit heb ik op uw aanraden in een topic waar ik vroeg om goede wiskunde boeken aangeschaft
Ook ben ik op zoek naar boeken welke op havo colleges gebruikt worden voor wiskunde B en D. Dit omdat ik deze stof in het voorjaar 2014 hoop de beheersen, omdat ik voornemens ben dan het staatsexamen havo te doen i.v.m. toekomstplannen. Ik zal dus ook nog een aantal andere vakken gaan bestuderen.

Ha, ha! Dat was ik alweer vergeten. Nu ja, je ziet: ik ben consequent...
Maar die link had ik nog niet eerder gezien.

Met havo kun je vrij veel geloof ik. Succes!

Hoi Martijn,

P = U2 / R. Het is dus absoluut niet zo dat bijvoorbeeld het verstookte vermogen bij 10V over 10Ω gedurende 1 uur gelijk is aan 5V over 10Ω gedurende 2 uur.

Ik zie dat je je eigen redeneringen durft te bekritiseren en dat je ook de tijd neemt om tot een gedegen begrip te komen. Mijn complimenten daarvoor. Zet gewoon door vooral op die stukken die in het begin veel tijd in beslag nemen. Dat zal in het begin met de wiskunde wel zo zijn maar als ik het zo even moet beoordelen moet jij die kennis kunnen vergaren. Je hebt er in ieder geval aanleg voor.